第1回：▼ 簡単なグラフを描く

■ 対話形式で使う

本文では，対話形式で，Julia を利用する．

Juliaをコマンドラインから利用している場合は， プロンプト julia> が印字され，利用者の入力を待っている．

命令を打ち込み，ENTER キーを押すと， その命令を計算（評価）した結果が印字される．

julia> 11

上の例では，1 という文字の並びから， 1 という数を内部で作成し， それを計算の結果として印字したのである．

計算機側から見ると， 利用者の入力を読み込み（Read）， 入力された命令を評価し（Eval）， その結果を印字する（Print）ことを，繰り返す（Loop）． この４つの頭文字をとって， 対話型利用のことを REPL とも呼ぶ．

Jupyter notebookを用いる場合には， Code cellが表示されている． ここに命令を打ち込み，SHIFT + ENTER キーを押すと， その命令を評価した結果が出力される．

■ 電卓として使う

数と数との四則演算をしてみよう．

加算には + ， 減算には - の文字を使う． 乗算には *（アスタリスク asterisk と読む）， 除算には /（スラッシュ slash と読む）の文字を用いる．（なお % は残余を表す→ ■ 残余 rem と整商 div ）

julia> 1 + 23
julia> 3 * 412

数式と同じように，乗算と除算は，加算・減算に優先する． 計算の順序を変えるには，括弧 ( と ) との組を用いる

julia> 2 + 3 * 414
julia> (2 + 3) * 420

除算の結果は，小数となる．

julia> 2 / 21.0
julia> 1 / 30.3333333333333333
julia> 5 / 22.5

■ 変数に値を代入する

値には，名前（名札，ラベル）をつけることができる． この名前を変数（variable）といい，名前をつける操作を「値を変数に代入する（assign）」という． 変数には，色々な種類（「型」）の値を代入できる．

変数を評価すると，変数の値となる．

julia> # 変数 x に 値 2 を代入する
       x = 22
julia> # 変数 x の値を用いる
       x + 13
julia> # 変数 x に 別の値 3 を再代入する
       x = 33

# はコメントである． # から行末までの文字は，すべて無視される．

■ 変数名の規則

Allowed Variable Names (section)

変数の名前（変数名）は，以下のようにつける．

変数名の最初の文字は， 半角のアルファベット（ a から z まで，A から Z まで）， または，下線（アンダースコア _ ）のいずれかでなければならない． 変数の2文字目以降は，さらに，半角の数字（ 0 から 9 ）， または，半角の感嘆符 ! を含めることができる．

半角文字とは「かな漢字変換機能」を用いずに， キーボードから打ち込める文字と考えてよい．

変数名には，漢字やギリシャ文字などを使うことができるが， ここでは説明を省略する．

Stylistic Conventions (section)

今後出現する，定数，型，関数，マクロ，モジュール，パッケージの名前も，変数名の約束と同じである． ただし，慣習として，以下のように使い分ける．

• 変数名は小文字で始める．
• 型，モジュール，パッケージの名前は大文字で始める．
• 関数やマクロの名前は小文字で始める．下線（アンダースコア _)は用いない．

■ ベクトル

角括弧 [ と ] との間に，半角文字のカンマ , で区切って 数を並べたものを，（数の）ベクトルという．

ベクトルは，縦に印字される（列ベクトル，column vector）．

julia> [1, 3, 2]3-element Vector{Int64}:
 1
 3
 2

変数に，ベクトルを代入しよう．

julia> xs = [1, 2, 2, 1]4-element Vector{Int64}:
 1
 2
 2
 1
julia> ys = [1, 1, 3, 1]4-element Vector{Int64}:
 1
 1
 3
 1

▼ 三角形を描く

「パッケージ」とは，関連する関数，定数，変数などをまとめたものである．

PyPlot パッケージは， グラフを描くためのパッケージの一つである．

パッケージを用いるには，using <<パッケージ名>> を起動し，パッケージを読み込んでおく．

PyPlot パッケージに含まれる関数 plot は，グラフを描くための一般的な関数である．

plot(xs,ys) の形で用いると， ベクトル xs , ys から一つづつ数を取り出し． それらを各々 $x$ 座標，$y$ 座標とする点を打つことを命令する．

通常は，plt.plot() の形で用いる． plt は，図の寸法や，グラフの軸を含むデータ（[オブジェクト])である．

# PyPlot パッケージの読み込み
using PyPlot

xs = [1, 2, 2, 1]
ys = [1, 1, 3, 1]
# 描画
plt.plot(xs, ys)

julia> using PyPlot

julia> plt
PyObject <module 'matplotlib.pyplot' from '/Users/hs/.julia/conda/3/lib/python3.7/site-packages/matplotlib/pyplot.py'>

▲ 練習

xs や ys の値を変えて，別の図形を表示してみよ．

xs と ys の要素の「数」が等しくない場合は，どうなるか？ 試してみよ．

■ ベクトルの各要素をスカラーで乗除する

ベクトル v とスカラー c に演算子 * を適用 (apply) した 式 v * c は，ベクトル v の各要素にスカラー c を乗じたベクトルを与える．

スカラー c とベクトル v に演算子 * を適用した 式 c * v は，v の各要素にスカラーc を乗じたベクトルを与える． つまり，式 v * c と c * v の結果は，等価 (equivalent)である．

julia> xs * 24-element Vector{Int64}:
 2
 4
 4
 2
julia> 2 * xs4-element Vector{Int64}:
 2
 4
 4
 2

ベクトル v とスカラー c に演算子 / を適用した 式 v / c は，ベクトル v の各要素をスカラー c で除したベクトルを与える．

julia> xs / 24-element Vector{Float64}:
 0.5
 1.0
 1.0
 0.5

先に描いた三角形を拡大してみよう．

# PyPlot パッケージの読み込み
using PyPlot

xs = [1, 2, 2, 1]
ys = [1, 1, 3, 1]
# 描画
plt.plot(xs, ys)
# それぞれ 2 倍する
xs2 = 2*xs
ys2 = 2*ys
# 描画
plt.plot(xs2, ys2)

■ ベクトルの各要素をスカラーで加減する

ベクトル v とスカラー c に演算子 .+ を適用した式 v .+ c は， ベクトル v の各要素にスカラー c を加算した要素からなるベクトルを与える． 同様に、式 v .- c は，v の各要素から c を減算した要素からなるベクトルを与える。 演算子 + や -の前のピリオド . は， 「各要素に対する演算 （element-wise operation）」を意味する． （第2回 ■ ドット演算子 で再度説明する）．

julia> xs .+ 24-element Vector{Int64}:
 3
 4
 4
 3
julia> xs .- 24-element Vector{Int64}:
 -1
  0
  0
 -1

先に描いた三角形を平行移動してみよう．

# PyPlot パッケージの読み込み
using PyPlot

xs = [1, 2, 2, 1]
ys = [1, 1, 3, 1]
# 描画
plt.plot(xs, ys)
# それぞれ1を加える
xs2 = xs .+ 1
ys2 = ys .+ 1
# 描画
plt.plot(xs2, ys2)

一つ前のグラフと同じように見えるが，描画範囲が異なることに注意せよ．同じ描画範囲に設定して比較したい場合は， ▼ グラフの描画範囲を指定すると▼ グラフのアスペクト比を等しくする を参照せよ．→ ▲ 練習：三角形の拡大縮小・平行移動を描画する

julia> xs + 2
ERROR: MethodError: no method matching +(::Array{Int64,1}, ::Int64)

■ 範囲

Base.:: — Function

二つ，または，三つの数字を半角文字のコロン（ : ）で区切ったデータは， 有限の（＝要素の数が定まった）等差数列（arithmetic sequence）を 表す．このようなデータの種類を 範囲型（range type）という．範囲型を持つデータを 範囲 （range）と呼ぶ．

二つの数をコロン（ : ）で区切った量 a:b は， a から 1 づつ増やして b を超えるまでの数からなる等差数列である． 三つの数をコロンで区切った量 a:c:b は， a から c づつ増やして b を超えるまでの数からなる等差数列である． c は，等差（common difference）である．

julia> 1:51:5
julia> xs = 0:0.1:10.0:0.1:1.0

範囲から各要素を取り出してベクトルに変換するには，collect 関数を用いる．

julia> collect(xs)11-element Vector{Float64}:
 0.0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1.0

等差 c は，負の値でもよい． この場合，a:c:b は，a から c づつ増やして b を「下回る」までの数からなる等差数列となる．

julia> xs = 10:-1:010:-1:0
julia> collect(xs)11-element Vector{Int64}:
 10
  9
  8
  7
  6
  5
  4
  3
  2
  1
  0

等差 c が負で，$a < b$ だと，要素は0個になる．

julia> xs = 2:-1:52:-1:3
julia> collect(xs)Int64[]

■ 範囲の各要素をスカラーで乗除する

範囲 v とスカラー c に演算子 * を適用した式 v * c は， 範囲 v の各要素にスカラー c を乗じた結果に相当する範囲を与える． スカラー c と範囲 v に演算子 * を適用した式 c * v も同じ結果を与える．

julia> xs = 0:2:100:2:10
julia> # 各要素を2倍する
       xs * 20:4:20
julia> 2 * xs0:4:20

範囲 v とスカラー c に演算子 / を適用した式 v / c は， 範囲 v の各要素をスカラー c で除した結果に相当する範囲を与える．

julia> # 各要素を2で除す
       xs / 20.0:1.0:5.0

■ 範囲の各要素をスカラーで加減する

範囲 v とスカラー c に演算子 .+ を適用した式 v .+ c は， 範囲 v の各要素にスカラー c を加算した要素からなる範囲を与える． 同様に、式 v .- c は，v の各要素から c を減算した要素からなる範囲を与える。 演算子 + や -の前のピリオド . は， 「各要素に対する演算 （element-wise operation）」を意味する． （第2回 ■ ドット演算子 で再度説明する）．

julia> xs = 0:2:100:2:10
julia> # 各要素に1を加える
       xs .+ 11:2:11
julia> # 各要素から1を減じる
       xs .- 1-1:2:9

この場合， ピリオドが付かない演算子 + や - を用いると， 例外（exception, エラー）が発生する．

julia> xs + 1
ERROR: MethodError: no method matching +(::StepRange{Int64, Int64}, ::Int64)

▼ 式のグラフを描く

plot 関数に対して， 同じ寸法の二つのベクトルまたは範囲 xs，ys を渡すと， xs , ys から一つづつ要素を取り出し， これらを $x, y$ 座標とする点同士を結んで，図形が描かれるのであった．

式のグラフを描くには，$x$ 座標の値 xs から計算した式の値を，$y$ 座標の値 ys とすればよい．

二つの直線 $y=-x$ と $y=2x-1$ のグラフを描いてみよう．

# PyPlot パッケージの読み込み
using PyPlot

xs = -1:0.1:1
# 描画
ys1 = -1 * xs
plt.plot(xs, ys1)
ys2 = 2 * xs .- 1
plt.plot(xs, ys2)

▲ 練習

別の直線を描いてみよ．

★ 今回のまとめ

• 対話形式の使い方
• 数の四則演算
• PyPlotパッケージを用いた図形とグラフの描画
• ベクトルと等差数列
• ベクトル・範囲の各要素のスカラー乗除
• ベクトル・範囲の各要素のスカラー加減