付録A：2018年度・定期レポートへのコメント（その1）

※ 以下のプログラムは，Julia 1.1向けに書き直した．

極座標 $(r, \theta)$ で記述される曲線を描き，その類似点を考察せよ，という課題であった．

ただし，動径 $r$ は，以下の式で与えられるものとする．

\[\begin{aligned} r_{1} & = \sin \theta + \cos \theta, \\ r_{2} & = 2 + 2\sin \theta = 2 \left(1 + \sin\theta \right), \\ r_{3} & = \dfrac{3}{2} + \sin \theta, \\ r_{4} & = 1 + \cos \theta, \\ r_{5} & = \dfrac{1}{2} + \cos \theta, \\ r_{6} & = \cos \dfrac{\theta}{2} \quad \left( 0 \le \theta \le 4\pi \right), \\ r_{7} & = \sin \dfrac{\theta}{2} \quad \left( 0 \le \theta \le 6\pi \right), \\ r_{8} & = \sin^2\theta = \left(\sin \theta\right)^2, \\ r_{9} & = 1 + 3 \cos^2 (2\theta) = 1 + 3 \left(\cos 2\theta \right)^{2}, \\ r_{10} & = \sin^2 (3\theta) = \left( \sin 3\theta \right)^{2}, \\ r_{11} & = \tan \theta, \\ r_{12} & = \cot 2\theta, \\ r_{13} & = \dfrac{1}{1+\cos \theta}, \\ r_{14} & = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\cos \theta}, \\ r_{15} & = \dfrac{1}{1+2\cos \theta}, \\ r_{16} & = \dfrac{1}{1-\cos \theta}, \\ r_{17} & = \dfrac{1}{1+\sin \theta}, \end{aligned}\]

分類

引数 $\theta$ に対する周期性から，以下のように分類できるであろう．

• 周期 $2\pi$ を持つもの

  • 単純な余弦・正弦 $\cos \theta, \sin \theta$ を含む曲線
  • 曲線 $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4},r_{5}$

• 周期 $4\pi$ を持つもの

  • 半角の余弦，正弦 $\cos \dfrac{\theta}{2}, \sin \dfrac{\theta}{2}$ を含む曲線
  • 曲線 $r_{6},r_{7}$

• 周期 $\pi$ を持つもの

  • 余弦・正弦の二乗 $\cos^2 \theta, \sin^2 \theta$ を含む
  • 三角関数の加法定理から $\cos 2\theta, \sin 2\theta$ に変形できる
  • 曲線 $r_{8},r_{9}$

• 周期 $\dfrac{4\pi}{3}$

  • 余弦・正弦の二乗 $\sin^2 (3\theta)$ を含む
  • 曲線 $r_{10}$

• 直角 $\dfrac{\pi}{2}$ の整数倍で不連続（正負の無限大に発散する）

  • 正接$\tan$, 余接 $\cot$ を含む
  • 曲線 $r_{11},r_{12}$

• 同式の形

  • 同じ式 $r = \dfrac{1}{1+ a \cos \theta}$ の形である
  • 曲線 $r_{13}, r_{14}, r_{15}$

• 分母が $0$ になりうる

  • 曲線 $r_{13}$, $r_{15}, r_{16}, $r_{17}$

曲線 $r_{1}$

以下，何も工夫せずに，曲線を描いてみる． ただし，描画範囲は適宜調整した．

曲線 $r_{1} = r_{1} = \sin \theta + \cos \theta$ を曲線 $r_{0} = \sin \theta$ と一緒に描く．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/72:2pi
#
r0 = sin.(ts)
x0 = r0 .* cos.(ts)
y0 = r0 .* sin.(ts)
plt.plot(x0,y0, label="r0")
#
r1 = sin.(ts) .+ cos.(ts)
x1 = r1 .* cos.(ts)
y1 = r1 .* sin.(ts)
plt.plot(x1,y1, label="r1")
#
plt.legend()
plt.xlim(-1,2)
plt.ylim(-1,2)
plt.axhline(0, c="k", lw=0.5)
plt.axvline(0, c="k", lw=0.5)

三角関数の合成の公式を用いると，$r_{1}$ は，以下のように変形できる．

\[\begin{aligned} r_{1} & = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \left\{ \sin \theta \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \cos \theta \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right\} \\ & = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \dfrac{\pi}{4} \right) \end{aligned}\]

すなわち，曲線 $r_{0}$ を，時計方向に $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転し， 原点を中心に $\sqrt{2}$ だけ拡大したものが，曲線 $r_{1}$ である．

曲線 $r_{2},r_{3}$

曲線 $r_{2} = 2 \left(1 + \sin\theta \right), r_{3} = \dfrac{3}{2} + \sin \theta$ は，y軸に対して対称である．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/72:2pi
#
r2 = 2 * (1 .+sin.(ts))
x2 = r2 .* cos.(ts)
y2 = r2 .* sin.(ts)
plt.plot(x2,y2, label="r2")
#
r3 = 3/2 .+ sin.(ts)
x3 = r3 .* cos.(ts)
y3 = r3 .* sin.(ts)
plt.plot(x3,y3, label="r3")
#
plt.legend()
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-2,5)
plt.axhline(0, c="k", lw=0.5)
plt.axvline(0, c="k", lw=0.5)

曲線 $r_{4},r_{5}$

曲線 $r_{2} = 2 \left(1 + \sin\theta \right)$ を時計方向に $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転したものが，曲線 $r_{4}$ である．

曲線 $r_{4} = 1 + \cos \theta, r_{5} = \dfrac{1}{2} + \cos \theta$ は，x軸に対して対称である．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/72:2pi
#
r4 = 1 .+ cos.(ts)
x4 = r4 .* cos.(ts)
y4 = r4 .* sin.(ts)
plt.plot(x4,y4, label="r4")
#
r5 = 1/2 .+ cos.(ts)
x5 = r5 .* cos.(ts)
y5 = r5 .* sin.(ts)
plt.plot(x5,y5, label="r5")
#
plt.legend()
plt.xlim(-1,3)
plt.ylim(-2,2)
plt.axhline(0, c="k", lw=0.5)
plt.axvline(0, c="k", lw=0.5)

曲線 $r_{6},r_{7}$

\[\begin{aligned} r_{6} & = \cos \dfrac{\theta}{2} \quad \left( 0 \le \theta \le 4\pi \right), \\ r_{7} & = \sin \dfrac{\theta}{2} \quad \left( 0 \le \theta \le 6\pi \right) \end{aligned}\]

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

#
ts4=0:pi/18:4pi
r6 = cos.(ts4./2)
x6 = r6 .* cos.(ts4)
y6 = r6 .* sin.(ts4)
plt.plot(x6,y6, label="r6")
#
ts6=0:pi/18:6pi
r7 = sin.(ts6./2)
x7 = r7 .* cos.(ts6)
y7 = r7 .* sin.(ts6)
plt.plot(x7,y7, ".", label="r7")
#
plt.legend()
plt.xlim(-3/2,3/2)
plt.ylim(-3/2,3/2)
plt.axhline(0, c="k", lw=0.5)
plt.axvline(0, c="k", lw=0.5)

曲線 $r_{6}$ と $r_{7}$ は一致した．

ちなみに，$\theta$ の定義域を狭めて描いてみよう．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
#
ts4=0:pi/18:pi        # <--
r6 = cos.(ts4./2)
x6 = r6 .* cos.(ts4)
y6 = r6 .* sin.(ts4)
plt.plot(x6,y6, label="r6")
#
ts6=0:pi/18:pi        # <--
r7 = sin.(ts6./2)
x7 = r7 .* cos.(ts6)
y7 = r7 .* sin.(ts6)
plt.plot(x7,y7, ".", label="r7")
#
plt.legend()
plt.xlim(-3/2,3/2)
plt.ylim(-3/2,3/2)
plt.axhline(0, c="k", lw=0.5)
plt.axvline(0, c="k", lw=0.5)

これをよく観察すると， 曲線 $r_{6}$ 上の点と，曲線 $r_{7}$ 上の点の対応関係が見えてくるであろう．

曲線 $r_{8},r_{9}$

曲線 $r_{8} = = \left(\sin \theta\right)^2, r_{9} = 1 + 3 \left(\cos 2\theta \right)^{2}$ の動径は，正である．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
#
ts=0:pi/72:2pi
#
r8 = (sin.(ts)).^2
x8 = r8 .* cos.(ts)
y8 = r8 .* sin.(ts)
plt.plot(x8,y8, label="r8")
#
r9 = 1 .+ 3* (cos.(2*ts)).^2
x9 = r9 .* cos.(ts)
y9 = r9 .* sin.(ts)
plt.plot(x9,y9, label="r9")
plt.legend()
plt.xlim(-5,5)
plt.ylim(-5,5)

ちなみに，$t$ の定義域を狭めて描いてみよう．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
#
ts=0:pi/72:2pi *3/8 # <--
#
r8 = (sin.(ts)).^2
x8 = r8 .* cos.(ts)
y8 = r8 .* sin.(ts)
plt.plot(x8,y8, label="r8")
#
r9 = 1 .+ 3* (cos.(2*ts)).^2
x9 = r9 .* cos.(ts)
y9 = r9 .* sin.(ts)
plt.plot(x9,y9, label="r9")
plt.legend()
plt.xlim(-5,5)
plt.ylim(-5,5)

曲線 $r_{10}$

曲線 $r_{10} = \left( \sin 3\theta \right)^{2}$ と 花曲線 $r_{10b} = \sin (3\theta)$ とともに描いてみよう．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/72:2pi
#
r10 = (sin.(3ts)).^2
x10 = r10 .* cos.(ts)
y10 = r10 .* sin.(ts)
plt.plot(x10,y10, label="r10")
#
r10b = sin.(3ts)
x10b = r10b .* cos.(ts)
y10b = r10b .* sin.(ts)
plt.plot(x10b,y10b, label="r10b")
#
plt.legend()
plt.xlim(-5/4,5/4)
plt.ylim(-5/4,5/4)

曲線 $r_{11}$, $r_{12}$

• 正接 $\tan \theta$ は $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍で，正負の無限大に発散する．
• 余接 $\cot \theta$ は $\dfrac{\pi}{2}$ の偶数倍で，正負の無限大に発散する．

これらの曲線は，発散する $\theta$ で，x軸や y軸に平行な直線に漸近する．

曲線 $r_{11} = \tan \theta$ は，$x = \pm {1}$ に漸近する．

曲線 $r_{12} = \cot 2\theta$ は，$x = \pm\dfrac{1}{2}$ または $y = \pm\dfrac{1}{2}$ に漸近する．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/72:2pi
#
r11 = tan.(ts)
x11 = r11 .* cos.(ts)
y11 = r11 .* sin.(ts)
plt.plot(x11,y11, ".", label="r11")
#
r12 = cot.(2ts)
x12 = r12 .* cos.(ts)
y12 = r12 .* sin.(ts)
plt.plot(x12,y12, ".", label="r12")
#
plt.legend()
plt.xlim(-4,4)
plt.ylim(-4,4)

曲線 $r_{13}$, $r_{14}$, $r_{15}$

（再掲）これらの曲線は $r = \dfrac{1}{1+a \cos \theta}$ の形である．

パラメータ $a$ の範囲により，見かけが異なる

• 範囲 $0 < a < 1$ : 楕円
• 範囲 $a = 1$ : 放物線
• 範囲 $a > 1$ : 双曲線

\[\begin{aligned} r_{13} & = \dfrac{1}{1+\cos \theta}, \\ r_{14} & = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\cos \theta}, \\ r_{15} & = \dfrac{1}{1+2\cos \theta} \end{aligned}\]

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/144:2pi
#
a=1
r13 = 1 ./ (1 .+ a*cos.(ts))
x13 = r13 .* cos.(ts)
y13 = r13 .* sin.(ts)
plt.plot(x13,y13, ".", label="r13, a="*string(a))
#
a=1/2
r14 = 1 ./ (1 .+ a*cos.(ts))
x14 = r14 .* cos.(ts)
y14 = r14 .* sin.(ts)
plt.plot(x14,y14, ".", label="r14. a="*string(a))
#
a=2
r15 = 1 ./ (1 .+ a*cos.(ts))
x15 = r15 .* cos.(ts)
y15 = r15 .* sin.(ts)
plt.plot(x15,y15, ".", label="r15, a="*string(a))
#
plt.legend()
plt.xlim(-4,4)
plt.ylim(-4,4)

曲線 $r_{13}$, $r_{17}$

曲線 $r_{13} = \dfrac{1}{1+\cos \theta}$ と $r_{17} = \dfrac{1}{1+\sin \theta}$ は，$\sin$ と $\cos$ を入れ替えたものである．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/144:2pi
#
r13 = 1 ./ (1 .+ cos.(ts))
x13 = r13 .* cos.(ts)
y13 = r13 .* sin.(ts)
plt.plot(x13,y13, ".", label="r13")
#
a=1/2
r17 = 1 ./ (1 .+ sin.(ts))
x17 = r17 .* cos.(ts)
y17 = r17 .* sin.(ts)
plt.plot(x17,y17, ".", label="r17")
#
plt.legend()
plt.axhline(0, color="k", lw=0.5)
plt.axvline(0, color="k", lw=0.5)
plt.xlim(-4,4)
plt.ylim(-4,4)

曲線 $r_{13}$, $r_{16}$

曲線 $r_{13} = \dfrac{1}{1+\cos \theta}$ と $r_{16} = \dfrac{1}{1-\cos \theta}$ は，$y$ 軸に対して鏡像の関係にある．

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")

ts=0:pi/144:2pi
#
r13 = 1 ./ (1 .+ cos.(ts))
x13 = r13 .* cos.(ts)
y13 = r13 .* sin.(ts)
plt.plot(x13,y13, ".", label="r13")
#
r16 = 1 ./ (1 .- cos.(ts))
x16 = r16 .* cos.(ts)
y16 = r16 .* sin.(ts)
plt.plot(x16,y16, ".", label="r16")
#
plt.legend()
plt.axhline(0, color="k", lw=0.5)
plt.axvline(0, color="k", lw=0.5)
plt.xlim(-4,4)
plt.ylim(-4,4)