第1回：▼ 簡単なプロットを描く

■ 対話形式で使う

本文では，対話形式で，Julia を利用する．

Juliaをコマンドラインから利用している場合は， プロンプト julia> が印字され，利用者の入力を待っている．

命令を打ち込み，ENTER キーを押すと， その命令を計算（評価）した結果が印字される．

julia> 11

上の例では，1 という文字の並びから， 1 という数を内部で作成し， それを計算の結果として印字したのである．

計算機側から見ると， 利用者の入力を読み込み（Read）， 入力された命令を評価し（Eval, Evaluate）， その結果を印字する（Print）ことを，繰り返す（Loop）． この４つの頭文字をとって， 対話型利用のことを REPL とも呼ぶ．

Jupyter notebookを用いる場合には， Code cellが表示されている． ここに命令を打ち込み，SHIFT + ENTER キーを押すと， その命令を評価した結果が出力される．

julia> exit()

■ 電卓として使う

数と数との加減乗除をしてみよう．

加算には + ， 減算には - の文字を使う． 乗算には *（アスタリスク asterisk と読む）， 除算には /（スラッシュ slash と読む）の文字を用いる．（なお % は残余を表す→ ■ 残余 rem と整商 div ）

julia> 1 + 23
julia> 3 * 412

数式と同じように，乗算と除算は，加算・減算に優先する． 計算の順序を変えるには，括弧 ( と ) との組を用いる

julia> 2 + 3 * 414
julia> (2 + 3) * 420

除算の結果は，小数となる．

julia> 2 / 21.0
julia> 1 / 30.3333333333333333
julia> 5 / 22.5

■ 変数に値を代入する

値には，名前（名札，ラベル）をつけることができる． この名前を変数（variable）といい，名前をつける操作を「値を変数に代入する（assign）」という． 変数には，色々な種類（「型」）の値を代入できる．

変数を評価すると，変数の値となる．

julia> # 変数 x に 値 2 を代入する
       x = 2
       # 変数 x の値を用いる2
julia> x + 1
       # 変数 x に 別の値 3 を再代入する3
julia> x = 33

# はコメントである． # から行末までの文字は，すべて無視される．

■ 変数名の規則

Allowed Variable Names (section)

変数の名前（変数名）は，以下のようにつける．

変数名の最初の文字は， 半角のアルファベット（ a から z まで，A から Z まで）， または，下線（アンダースコア _ ）のいずれかでなければならない． 変数の2文字目以降は，さらに，半角の数字（ 0 から 9 ）， または，半角の感嘆符 ! を含めることができる．

半角文字とは「かな漢字変換機能」を用いずに， キーボードから打ち込める文字と考えてよい．

変数名には，漢字やギリシャ文字などを使うことができるが， ここでは説明を省略する．

Stylistic Conventions (section)

今後出現する，定数，型，関数，マクロ，モジュール，パッケージの名前も，変数名の約束と同じである． ただし，慣習として，以下のように使い分ける．

• 変数名は小文字で始める．
• 型，モジュール，パッケージの名前は大文字で始める．
• 関数やマクロの名前は小文字で始める．下線（アンダースコア _)は用いない．

■ ベクトル

角括弧 [ と ] との間に，半角文字のカンマ , で区切って 数を並べたものを，（数の）ベクトルという．

ベクトルは，縦に印字される（列ベクトル，column vector）．

julia> [1, 3, 2]3-element Vector{Int64}:
 1
 3
 2

変数に，ベクトルを代入しよう．

julia> xs = [1, 2, 2, 1]4-element Vector{Int64}:
 1
 2
 2
 1
julia> ys = [1, 1, 3, 1]4-element Vector{Int64}:
 1
 1
 3
 1

▼ 三角形を描く

「パッケージ」とは， 関連する関数，定数，変数などをまとめたものである．

Plots パッケージは， プロットを描くためのパッケージの一つである．

命令 using <<パッケージ名>> で，パッケージを読み込む．

Plots パッケージは， プロットを描くための様々な関数を含んでいる．

関数 plot はプロットを描く関数である．

単に plot() として実行すると，新しいプロット枠を描く．

using Plots
#gr() #pythonplot()
plot()

データ系列(data series)を関数 plot に渡して，プロットを描こう．

関数 plot(xs,ys) の形で呼び出すと， ベクトル xs， ys から一つづつ数を取り出し． それらを各々 $x$ 座標，$y$ 座標とする点を順番に線で結ぶ．

# Plots パッケージの読み込み
using Plots
#gr() #pythonplot()

xs = [1, 2, 2, 1]
ys = [1, 1, 3, 1]
# 新しいプロットを作成する
plot(xs, ys)

▲ 練習

xs や ys の値を変えて，別の図形を表示してみよ．

xs と ys の要素の「数」が等しくない場合は，どうなるか？ 試してみよ．

■ ベクトルをスカラーで乗除する

• ベクトル v
• スカラー c

演算 v * c は， ベクトル r にスカラー c を乗じたベクトルである． すなわち， v * c の各要素は，v の各要素に c を乗じた積である．

julia> xs * 24-element Vector{Int64}:
 2
 4
 4
 2

演算 c * v も，同じ結果を与える．

julia> # 続けて
       2 * xs4-element Vector{Int64}:
 2
 4
 4
 2

v / c は， ベクトル r をスカラー c で除したベクトルである． すなわち， v / c の各要素は，v の各要素を c で除した商である．

julia> xs / 24-element Vector{Float64}:
 0.5
 1.0
 1.0
 0.5

先に描いた三角形を拡大してみよう．

関数 plot!(xs,ys) の形で呼び出すと， 直近で描かれたプロットに対して， ベクトル xs , ys から一つづつ数を取り出し． それらを各々 $x$ 座標，$y$ 座標とする点を線で結ぶ．

すなわち，関数 plot(xs,ys) と同じ動作であるが， 直近に描かれたプロットに追加する．

# Plots パッケージの読み込み
using Plots
#gr() #pythonplot()

xs = [1, 2, 2, 1]
ys = [1, 1, 3, 1]
# 新しいプロットを作成する
plot(xs, ys)
# それぞれ 2 倍する
xs2 = 2*xs
ys2 = 2*ys
# 直近のプロットにデータ系列を追加する
plot!(xs2, ys2)

■ ベクトルをスカラーで加減する

• ベクトル v
• スカラー c

演算 v .+ c は， ベクトル v にスカラー c を加えたベクトルである． すなわち， v .+ c の各要素は， v の各要素に c を加えた和である．

同様に， 演算 v .- c は， ベクトル v からスカラー c を減じたベクトルである． すなわち， v .- c の各要素は， v の各要素に c を減じた差である．

演算子 + や -の前のピリオド . は， 「各要素に対する演算 （element-wise operation）」を意味する． （以下の ■ ドット演算子 で説明する）．

julia> xs .+ 24-element Vector{Int64}:
 3
 4
 4
 3
julia> xs .- 24-element Vector{Int64}:
 -1
  0
  0
 -1

先に描いた三角形を平行移動してみよう．

# Plots パッケージの読み込み
using Plots
#gr() #pythonplot()

xs = [1, 2, 2, 1]
ys = [1, 1, 3, 1]
# 最初のプロット
plot(xs, ys)

# 続けて
# それぞれ1を加える
xs2 = xs .+ 1
ys2 = ys .+ 1
# データ系列を追加する
plot!(xs2, ys2)

関数 plot と plot! は， 既定では，すべてのデータが見えるように， 描画範囲を設定しようとする．（が，そのようにならないこともある）．

同じ描画範囲に設定してプロットを比較したい場合は，以下を参照せよ．

• ▼ プロットの描画範囲を指定する
• ▼ アスペクト比を等しくする
• ▲ 練習：三角形の拡大縮小・平行移動を描画する

julia> xs + 2
ERROR: MethodError: no method matching +(::Array{Int64,1}, ::Int64)

■ 範囲

Base.:: — Function

二つまたは三つの数字を半角文字のコロン（ : ）で区切ったデータは， 有限の（＝要素の数が定まった，finite）等差数列（arithmetic sequence）を 表す． このようなデータの種類を 範囲型（range type）という． 範囲型を持つデータを 範囲 （range）と呼ぶ．

二つの数をコロン（ : ）で区切った量 a:b は， a から 1 づつ増やして b を超えるまでの数からなる等差数列である． 三つの数をコロンで区切った量 a:c:b は， a から c づつ増やして b を超えるまでの数からなる等差数列である．

呼び方

• a : 初項（initial term, first term）
• b : 末項（last term）
• c : 等差（common difference）

julia> 1:51:5
julia> xs = 0:0.1:10.0:0.1:1.0

範囲から各要素を取り出してベクトルに変換するには，collect 関数を用いる．

julia> collect(xs)11-element Vector{Float64}:
 0.0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1.0

等差 c は，負の値でもよい． この場合，a:c:b は，a から c づつ増やして b を「下回る」までの数からなる有限の等差数列となる．

julia> xs = 10:-1:010:-1:0
julia> collect(xs)11-element Vector{Int64}:
 10
  9
  8
  7
  6
  5
  4
  3
  2
  1
  0

等差 c が負で，$a < b$ だと，要素は0個になる．

julia> xs = 2:-1:52:-1:3
julia> collect(xs)Int64[]

■ 範囲の各要素をスカラーで乗除する

• 範囲 r
• スカラー c

演算 r * c は，範囲 r のスカラーc倍である． すなわち， r の各要素に c を乗じた結果に相当する「範囲」を与える． 演算 r * v も，同じ結果を与える．

julia> xs = 1:2:10
       # 各要素を2倍する1:2:9
julia> xs * 22:4:18
julia> 2 * xs2:4:18

結果も範囲となる（賢い！）．

演算 r / c は，範囲 r のスカラーc商である． すなわち， r の各要素を c を除した結果に相当する「範囲」を与える．

julia> # 各要素を2で除す1:2:9
julia> xs / 20.5:1.0:4.5

末項が数字で終わる場合には，範囲のスカラー乗除は，範囲全体を括弧で囲む必要がある．

julia> (2:2:4) * 24:4:8
julia> (2:2:4) / 21.0:1.0:2.0

julia> 2:2:4 * 2
2:2:8

■ 範囲の各要素をスカラーで加減する

• 範囲 r
• スカラー c

演算 r .+ c は，範囲 r にスカラー c を加えた範囲である． すなわち， r .+ c の各要素は， r の各要素に c を加えた和である．

同様に，演算 v .- c は，v の各要素から c を減算した要素からなる範囲を与える．

演算子 + や -の前のピリオド . は， 「各要素に対する演算 （element-wise operation）」を意味する． （この先の ■ ドット演算子 で再度説明する）．

julia> xs = 1:2:10
       # 各要素に1を加える1:2:9
julia> xs .+ 1
       # 各要素から1を減じる2:2:10
julia> xs .- 10:2:8

この場合， ピリオドが付かない演算子 + や - を用いると， 例外（exception, エラー）が発生する．

julia> xs + 1
ERROR: MethodError: no method matching +(::StepRange{Int64, Int64}, ::Int64)

julia> 2:2:4 + 2
2:2:6

julia> (2:2:4) .+ 2
4:2:6

■ コレクション

一つずつ要素を取り出すことができる量をコレクション（collection）という． ベクトルや範囲は，コレクションである．

ベクトルと範囲は，異なる種類（■ 型）の値であるが， スカラーの加減乗除が同じ形式で記載するよう，うまく設計されている． このような例は，Juliaの随所で観察される．

これから説明する例

• ▼ 同じ寸法のコレクションどうしの加減
• ▼ 同じ寸法のコレクションどうしの乗除

今後説明する■ 行列も，コレクションの一つである．

■ ドット演算子

コレクションとスカラーとの間の加減で，.+ ，.- のように， 半角文字のピリオド（ドッド）で始まるドット演算子（dot operator）を用いた． ドット演算子は，「コレクションの各要素に対して演算する（element-wise operation）」という意味を持つ．

加減乗除のドット演算子を適用される値の 一方がコレクション，他方がスカラーの場合には， 「スカラーをコレクションと同じ寸法を持つベクトルに拡張して」から，要素どうしの演算を行う仕組みになっている． この仕組みを「ブロードキャスト（broadcast）」と呼ぶ．

▼ 式のプロットを描く

plot またはplot! 関数に対して， 同じ寸法を持つ二つのベクトルまたは範囲 xs，ys を渡すと， xs , ys から一つづつ要素を取り出し， これらを $x, y$ 座標とする点どうしを結んで，図形が描かれるのであった．

式のプロットを描くには，$x$ 座標の値 xs から計算した式の値を，$y$ 座標の値 ys とすればよい．

二つの直線 $y=-x$ と $y=2x-1$ のプロットを描いてみよう．

# Plots パッケージの読み込み
using Plots
#gr() #pythonplot()

xs = -1:0.1:1
# 描画
plot()
ys1 = -1 * xs
plot!(xs, ys1)
ys2 = 2 * xs .- 1
plot!(xs, ys2)

▲ 練習

別の直線を描いてみよ．

★ 今回のまとめ

• 対話形式の使い方
• 数どうしの加減乗除
• Plots パッケージを用いた図形とプロットの描画
• ベクトルと等差数列
• コレクション
• コレクションの各要素をスカラー乗除する
• コレクションの各要素をスカラーで加減する
• ドット演算子
• 式のプロットを描く