第13回：複素数

■ 複素数を作る

以下では、x, y は Int64 型または Float64 型の数とする。

関数 complex(x) は、実数部が $x$ の複素数を作る。
関数 complex(x,y) は、実数部(実数部)が $x$、虚数部(虚数部) が $y$ の複素数を作る。
複素数の型は、実数部と虚数部の型に合わせて Complex{Int64} または Complex{Float64} となる。$x, y$ で Int64 と Float64 型が混在した場合には。後者になる。

julia> complex(1)
1 + 0im

julia> complex(1.0)
1.0 + 0.0im

julia> complex(1.0, -1.0)
1.0 - 1.0im

定数 im は虚数単位である。これは、complex(0,1) または complex(0.0,1.0) と同じ意味である。複素数 $x+iy$ を作るのに、以下のように書いてもよい（が、乗算と加算の演算を含むので、関数 complexを使うほうが好ましい )。

1 - 1im
1.0 - 1.0im

▶ 複素数と整数・浮動小数点数との四則演算

複素数と整数または浮動小数点数との四則演算は、演算子 +, -, *, / を用いる。

julia> z = complex(1,-1)
1 - 1im

julia> z + 2
3 - 1im

julia> z - 2
-1 - 1im

julia> z * 2
2 - 2im

julia> z / 2
0.5 - 0.5im

零 0 による除算は、実数部と虚数部の各々で行われ、Inf ないし NaN の値となる。

julia> complex(1,0) / 0
Inf + NaN*im

▶ 複素数同士の四則演算

複素数同士の四則演算にも、演算子 +, -, *, / を用いる。

julia> z = complex(1,-1)
1 - 1im

julia> w = complex(2,-2)
2 - 2im

julia> z + w
3 - 3im

julia> z - w
-1 + 1im

julia> z * w
0 - 4im

julia> z / w
0.5 - 0.0im

複素数を値とする変数に対して、更新演算子 +=, -=, *=, /= も使える。

julia> z *= w
0 - 4im

▶ 複素数のベクトル

整数または浮動小数点数のベクトルを作るのと同様な方法で、複素数のベクトルを作ることができる。

julia> [ complex(0,0), complex(1,0), complex(1,1) ]
3-element Array{Complex{Int64},1}:
 0 + 0im
 1 + 0im
 1 + 1im

julia> [ complex(i,2i) for i in -2:2 ]
5-element Array{Complex{Int64},1}:
 -2 - 4im
 -1 - 2im
  0 + 0im
  1 + 2im
  2 + 4im

複素数の零 complex(0.0,0.0) を 5個含むベクトルを作るには、以下のように書けばよい。

julia> zeros( Complex{Float64}, 5)
5-element Array{Complex{Float64},1}:
 0.0 + 0.0im
 0.0 + 0.0im
 0.0 + 0.0im
 0.0 + 0.0im
 0.0 + 0.0im

▶ 複素数の実数部・虚数部・共役複素数

関数 real(z) は複素数z の実数部(実数部)を返す。
関数 imag(z) は複素数z の虚数部(虚数部)を返す。

julia> z = complex(1,-1)
1 - 1im

julia> real(z)
1

julia> imag(z)
-1

複素数ベクトルの各要素の実数部ないし虚数部を計算するには、dot記法を用いる。

julia> zs = [ complex(0,0), complex(1,0), complex(1,1), complex(0,1), complex(0,0)]
5-element Array{Complex{Int64},1}:
 0 + 0im
 1 + 0im
 1 + 1im
 0 + 1im
 0 + 0im

julia> real.(zs)
5-element Array{Int64,1}:
 0
 1
 1
 0
 0

julia> imag.(zs)
5-element Array{Int64,1}:
 0
 0
 1
 1
 0

関数 conj(z) は複素数 z の共役(きょうえき)複素数 (conjugate complex number) を返す。

julia> z = complex(1,-1)
1 - 1im

julia> conj(z)
1 + 1im

▶ 負の数に対する平方根

Base.sqrt - Function

平方根 sqrt(x)は、負の実数 x に対して例外を出すが、引数を複素数の引数を与えれば計算できる。

julia> # 例外を出す
       sqrt(-1)
ERROR: DomainError with -1.0:
sqrt will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).

julia> # 計算できる
       sqrt(complex(-1))
0.0 + 1.0im

正負の実数に対して、平方根の実数部と虚数部を描け。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
xs=-1:0.05:1
zs=complex.(xs)
sqzs=sqrt.(zs)
plt.plot(xs, real.(sqzs), label="real part")
plt.plot(xs, imag.(sqzs), label="imaginary part")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("sqrt of x")
plt.legend()
plt.xlim(-1.5,1.5)
plt.ylim(-1.5,1.5)
plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

◀ 2次方程式の解：一般の場合

2次方程式 $x^2-bx+c=0$ の解を求める方法について、▼ 2次方程式で紹介したが、実数解のみに留めていた。以下では、複素数解を含めて求めてみる。一方の解 $x_1$ を、2次方程式の解の公式で求め、他方の解を、係数と解の関係により求める。

\begin{align*} x_{1} &= \dfrac{b+\sqrt{b^2-4c}}{2}, \\ x_{2} &= \dfrac{c}{x_1} \end{align*}

係数 $b=1$ を一定とし、係数 $c$ を $-1$ から $1$の範囲で動かす。

実数部を実線で、虚数部を点線で表した。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
b=1
cs=range(-2,2,length=200)
ds=complex(b.*b .-4cs)
x1s=(b .+sqrt.(ds))/2;
x2v=cs./x1s;
plt.plot(cs, real.(x1s), "b-", label="x1, real part")
plt.plot(cs, imag.(x1s), "b:", label="x1, imag part")
plt.plot(cs, real.(x2v), "g-", label="x2, real part")
plt.plot(cs, imag.(x2v), "g:", label="x2, imag part")
plt.legend()
plt.xlabel("c")
plt.xlim(-2.5,2.5)
plt.ylim(-2.5,2.5)
plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

定数 $c$ の値により、解の形が異なる様子が観察できる。すなわち、

範囲 $c \lt \dfrac{1}{4}$ では実数解 (虚数部は零)
範囲 $c = \dfrac{1}{4}$ では重解 $\dfrac{1}{2}$
範囲 $c \gt \dfrac{1}{4}$ では複素解 (共役複素数)

▶ ガウス平面

複素数 $x + i y$ は、平面上の点 $(x,y)$ と一対一に対応する。複素数を平面に表したものをガウス平面という。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
z = complex(1,1)
w = complex(-2,1)

plt.plot( real(z), imag(z), "b.", label="z")
plt.plot( real(w), imag(w), "r.", label="w")
plt.legend()
plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)
plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

複素数ベクトルで表された図形を、ガウス平面に描こう。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
zs = [ complex(0,0), complex(1,0), complex(1,1), complex(0,1), complex(0,0)]

plt.plot( real.(zs), imag.(zs), ".-")
plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")
plt.xlim(-2,2)
plt.ylim(-2,2)
plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

▶ 複素数の絶対値と偏角

関数 abs(z) は、複素数 z の絶対値 $\left\vert{z}\right\vert$ を返す。
関数 abs2(z) は、複素数 z の絶対値の2乗 $\left\vert{z}\right\vert|^{2}$ を返す。
関数 angle(z) は、複素数 z の偏角 $\angle{z}$ をラジアンで返す。結果(値域)は $-\pi$ から $\pi$である。

これは、ガウス平面上で、複素数を極座標で表示したものに対応している。次の ▶ オイラーの公式も参照。

julia> for z in [ 0, complex(1,1), 1im, complex(-1,1), -1, complex(-1,-1), -im, complex(1,-1), ]
         @show z, abs(z), angle(z)
       end
(z, abs(z), angle(z)) = (0 + 0im, 0.0, 0.0)
(z, abs(z), angle(z)) = (1 + 1im, 1.4142135623730951, 0.7853981633974483)
(z, abs(z), angle(z)) = (0 + 1im, 1.0, 1.5707963267948966)
(z, abs(z), angle(z)) = (-1 + 1im, 1.4142135623730951, 2.356194490192345)
(z, abs(z), angle(z)) = (-1 + 0im, 1.0, 3.141592653589793)
(z, abs(z), angle(z)) = (-1 - 1im, 1.4142135623730951, -2.356194490192345)
(z, abs(z), angle(z)) = (0 - 1im, 1.0, -1.5707963267948966)
(z, abs(z), angle(z)) = (1 - 1im, 1.4142135623730951, -0.7853981633974483)

▶ オイラーの公式

実数 $\theta$ に対して、指数関数 $\exp{i\theta}$ は、以下のように書き表される。これをオイラーの公式という。

\[\exp{i\theta} = \cos\theta+ i \sin\theta\]

指数関数は、複素数を引数とするように拡張されている。 $\exp{i\theta}$ をガウス平面上に描く。これは、単位円 (半径 $1$)の円を描く。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
zs = [ exp(im*t) for t in 0:pi/18:2pi ]

plt.plot( real.(zs), imag.(zs), ".")
plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")
plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

関数 cis(x) は、数 xに対して $\exp{i x}$ を計算する。同じ結果が得られることを確認しよう。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
zs = [ cis(t) for t in 0:pi/18:2pi ]
plt.plot( real.(zs), imag.(zs), "o")

zs = [ exp(im*t) for t in 0:pi/18:2pi ]
plt.plot( real.(zs), imag.(zs), ".")

plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")

plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

◀ ガウス平面内で回転する

複素数に $\exp(i \theta)$ を乗ずることは、ガウス平面上で、原点に対して、反時計方向に角度 $\theta$ だけ回転することに相当する。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
r15 = cis(pi*15/180)
zs = complex(1,1)

for i in 1:10
  global zs
  plt.plot( [0, real.(zs)], [0, imag.(zs)], ".-")
  zs *= r15
end

plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")
plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

plt.xlim(-2,2)
plt.ylim(-2,2)

◀ アルキメデスの渦を描く（複素数版）

実数 $t$ に対して、複素数 $z=t \exp(i t)$ の軌跡を、ガウス平面上に描いてみよう。これは、アルキメデスの渦である。参考 → ▼ アルキメデスの渦を描く

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
ts=range(0,4pi,length=200)
zs=ts.*exp.(im*ts)
plt.plot(real.(zs), imag.(zs) )

●▼ 花曲線（複素数版）

実数 $t$ に対して、複素数 $z= \cos(nt) \exp(i t)$ の軌跡をガウス平面上に描いてみよ。これは、花曲線となる。参考 → ▼ 花曲線を描く

◀ 複素数同士の乗算の意味

複素数同士の乗算は、極座標で表示すると、その意味が明らかになる。

オイラーの公式を使うと、複素数 $z, w$ は、その絶対値と偏角を用いて、以下のように書いて、

\begin{align*} z &= \left\vert{z}\right\vert \exp(i \angle{z}), \\ w &= \left\vert{w}\right\vert \exp(i \angle{w} \end{align*}

複素数 $z$ と $w$ の積を求めると、次のようになる。

\[zw = \left\vert{z}\right\vert \left\vert{w}\right\vert \exp\left( i \left(\angle{z}+\angle{w}\right)\right)\]

つまり、積 $zw$ の絶対値は、2つの複素数の絶対値の積である。また、積 $zw$ の偏角は、2つの複素数の偏角の和である。

まとめると、複素数同士の積は、ガウス平面上で拡大縮小と回転を同時に行う演算である。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
z = 1*cis(pi/3)
w = 2*cis(pi/4)
zw=z*w

plt.plot( [0, real(z)], [0, imag(z)], "r.-", label="z")
plt.plot( [0, real(w)], [0, imag(w)], "b.-", label="w")
plt.plot( [0,real(zw)], [0,imag(zw)], "g.-", label="z*w")

zs = [ cis(t) for t in 0:pi/18:2pi ]
plt.plot( real.(zs),  imag.(zs), "r", lw=0.5)
plt.plot( real.(2zs), imag.(2zs), "g", lw=0.5)

plt.legend()
plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")

plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)

◀ 複素数の平方根とは

上の特別な場合として、$z$ の二乗を検討する。 $w=z$ として、以下を得る。

\[z^2 = {\left\vert{z}\right\vert}^2 \exp\left( i 2 \angle{z} \right)\]

これから、$z$ の平方根 $\sqrt{z}$ は、以下のように求められる。

\[z = \sqrt{\left\vert{z}\right\vert} \exp\left( i \dfrac{\angle{z}}{2} \right)\]

すなわち、複素数の平方根は、

絶対値が、元の複素数の絶対値の平方根
偏角が、元の複素数の偏角の半分

となる。

以下に、数値例を示す。

\begin{align*} z & = -1 + i \sqrt{3} = 2 \left( -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \exp\left(i \dfrac{\pi}{3}\right), \\ \sqrt{z} & = \sqrt{2} \exp\left(i \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt{2} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + i \dfrac{1}{2} \right) \end{align*}

z = complex(-1, sqrt(3));
@show z, abs(z), angle(z);
w= sqrt(z);
@show w, abs(w), angle(w);

(0.7071067811865476 + 1.224744871391589im, 1.4142135623730951, 1.0471975511965976)

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
z = complex(-1, sqrt(3))
w = sqrt(z)

plt.plot( [0, real(z)], [0, imag(z)], "r.-", label="z")
plt.plot( [0, real(w)], [0, imag(w)], "b.-", label="sqrt(z)")

zs = [ cis(t) for t in 0:pi/18:2pi ]
plt.plot( real.(zs)*2,       imag.(zs)*2,       "r", lw=0.5)
plt.plot( real.(zs)*sqrt(2), imag.(zs)*sqrt(2), "b", lw=0.5)

plt.legend()
plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")

plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)

◀ 図形を回転する

複素数に $\exp(i \theta)$ を乗ずることは、ガウス平面上で、原点に対して、反時計方向に角度 $\theta$ だけ回転することに相当する。平面図形を複素数ベクトルとして表して、図形を回転しよう。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
r15 = cis(pi*15/180)
zs = [ complex(0,0), complex(1,0), complex(1,2), complex(0,0)]

for i in 1:10
  global zs
  plt.plot( real.(zs), imag.(zs), ".-")
  zs *= r15
end

plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")

plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)
plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, color="k")

◀ 伝達関数

制御工学や電気電子回路では「線形システム」に着目する。これは、入力と出力が、時刻 $t$ に対する定数係数の微積分方程式で表されるようなものである。線形システムでは、

角振動数 $\omega=2\pi{f}$ の正弦波 $x(t) = x_0 \cos \left(\omega{t}+\phi \angle{X}\right)$ を入力に与えると、
同じ角振動数の正弦波 $y(t) = y_0 \cos \left(\omega{t}+\angle{Y} \right)$ が出力として得られること

が知られている。

そこで、

複素数 $X = x_0 \exp(i\angle{X})$ を入力の正弦波 $x(t)$ と同一視し(=同じものと考え)、
複素数 $Y = y_0 \exp(i\angle{Y})$ を出力の正弦波 $y(t)$ と同一視すると、

入力と出力との比は、複素数 $H$ になる。

\[Y = H X\]

ここで、$X, Y, H$ は、一般に、角振動数 $\omega$ または周波数 $f$ の関数である。

\[Y({\omega}) = H({\omega}) X({\omega})\]

複素数 $H(\omega)$ を、伝達関数 (transfer function) という。

伝達関数の絶対値は、入力と出力の振幅の比 (振幅比)を与える。
伝達関数の偏角は、入力の位相と出力の位相の「ズレ」 (位相差) を与える。

\begin{align*} \left\vert{H({\omega})}\right\vert &= \dfrac{\left\vert{Y({\omega})}\right\vert}{\left\vert{X({\omega})}\right\vert} = \dfrac{y_0}{x_0}, \\ \angle{H(\omega)} &= \angle{Y(\omega)} - \angle{X(\omega)} \end{align*}

周波数応答 (frequency response)とは、角振動数 $\omega$ または周波数 $f$ の関数として伝達関数の振幅 $\left\vert{H({\omega})}\right\vert$ と位相 $\angle{H(\omega)}$ を描いた図である。線形システムの振る舞いを観察するのに便利である。

◀ 共振回路

自己インダクタンス（コイル） $L$, 電気容量（コンデンサ） $C$, 電気抵抗 $R$ を直列に接続した $LCR$ 直列回路の電源に正弦波電圧 $e(t)$ を加える。抵抗 $R$ の両端子間の電圧 $v(t)$ は、同じ角振動数を持つ正弦波 $v(t)$ となる。正弦波 $e(t)$ と $v(t)$ を複素数 $E(\omega)$ と $V(\omega)$ で表したとき、両者の比は、以下の複素数 $H(\omega)$ で表される。

\[H(\omega) = \dfrac{V(\omega)}{E(\omega)} = \dfrac{1}{1 + i Q \left(\dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega}\right)}\]

ここで、$\omega_0 = 2\pi{f_0}$ と $Q$ は、回路素子 $L, C, R$の値から決まる正の定数である。$f_0$ は周波数の次元、$\omega_0$ は角振動数の次元を持ち、$Q$ は無次元である。

まず、$f_0= 1\;\mathrm{kHz}, Q = 1$ として、$H(\omega)$ の振幅 $\left\vert{H(\omega)}\right\vert$ を描く。横軸周波数は対数で表示する。

f0=1e3
w0=2pi*f0

fs=exp10.(range(1,5,length=200))

ws=2pi*fs

q=1
h1=1 ./ (1 .+ im * q * (ws/w0-w0./ws))

using PyPlot
plt.plot(fs, abs.(h1))
plt.xscale("log")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.xlabel("f / Hz")
plt.axvline(f0, lw=0.5, color="k")

振幅は、単峰性の極大値 $1$ をとる。

極大となる周波数 $f_0$ を共振周波数 (resonance frequency)、これに対応する角振動数 $\omega_{0}=2\pi{f_0}$ を共振角振動数 (resonance angular frequency)という。

今度は、振幅の二乗 $\left\vert{H(\omega)}\right\vert^2$ と位相 $\angle{H(\omega)}$ を同時に描こう。

f0=1e3
w0=2pi*f0

fs=exp10.(range(1,5,length=200))

ws=2pi*fs

q=1
h1=1 ./ (1 .+ im * q * (ws/w0-w0./ws))

using PyPlot
# fig=plt.figure()
# ax1=fig.add_subplt.plot(211)
fig,axs=plt.subplots(2,1)
ax1=axs[1]
ax1.plot(fs, abs2.(h1))
ax1.set_ylabel("Amplitude")
ax1.set_xscale("log")
ax1.axvline(f0, lw=0.5, color="k")
ax1.axhline(1/sqrt(2), lw=0.5, color="k")

# ax2=fig.add_subplt.plot(212)
ax2=axs[2]
ax2.plot(fs, angle.(h1)*180/pi)

ax2.set_xscale("log")
ax2.set_xlabel("f / Hz")
ax2.set_ylabel("Phase")
ax2.set_ylim(-100,100)
ytics = [-90,-45,0,45,90]
ax2.set_yticks( ytics )
for y in ytics
  ax2.axhline(y, lw=0.5, color="k")
end
ax2.axvline( f0, lw=0.5, color="k")

位相は $90^{\circ}$ から始まり $-90^{\circ}$ に単調減少する。振幅が極大となる周波数 $f_0$ で位相は $0$ となる。

さらに、$\left\vert{H(\omega)}\right\vert^2 = \dfrac{1}{2}$ となる周波数 (２つある)で、位相は $\pm 45^{\circ}$ をとる。

次に、$f_0, \omega_0$ を変えずに、$Q$ の値を増減して、振幅の二乗 $\left\vert{H(\omega)}\right\vert^2$ を描く。

f0=1e3
w0=2pi*f0

fs=exp10.(range(1,5,length=200))

ws=2pi*fs

using PyPlot
for q in [ 0.5, 1, 2 ]
  h1=1 ./ (1 .+ im * q * (ws/w0-w0./ws))
  plt.plot(fs, abs2.(h1), label="Q="*string(q) )
end
plt.legend()
plt.xscale("log")
plt.xlabel("f / Hz")

plt.axhline(1/sqrt(2), lw=0.5, color="k")
plt.axvline(f0, lw=0.5, color="k")

定数 $Q$ が小さくなると、峰が鋭くなる (幅が狭くなる) 様子が観察される。

更に、位相のグラフを加えよう。

f0=1e3
w0=2pi*f0

fs=exp10.(range(1,5,length=200))

ws=2pi*fs

using PyPlot
# fig=plt.figure()
# ax1=fig.add_subplt.plot(211)
# ax2=fig.add_subplt.plot(212)
fig,axs=plt.subplots(2,1)
ax1=axs[1]
ax2=axs[2]

for q in [0.5,1,2]
  h1=1 ./ (1 .+ im * q * (ws/w0-w0./ws))
  ax1.plot(fs, abs.(h1), label="Q="*string(q))
  ax2.plot(fs, angle.(h1)*180/pi)
end
ax1.legend()
ax1.set_xscale("log")
ax1.set_ylabel("Amplitude")
ax1.axvline(f0, lw=0.5, color="k")
ax1.axhline(1/sqrt(2), lw=0.5, color="k")

ax2.set_xscale("log")
ax2.set_ylabel("Phase")
ax2.set_xlabel("f / Hz")
ax2.set_ylim(-100,100)
ytics = [-90,-45,0,45,90]
ax2.set_yticks( ytics )
for y in ytics
  ax2.axhline(y, lw=0.5, color="k")
end
ax2.axvline( f0, lw=0.5, color="k")

●◀ 練習：共振回路

複素数 $H(\omega)$ の分母の虚数部分 $Q \left( \dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega} \right)$ を、角振動数 $\omega$ の関数として描け。その特徴を記せ。

振幅の二乗が最大値の半分 $\left\vert{H(\omega)}\right\vert^2 = \dfrac{1}{2}$ になる角振動数は2つある。その周波数 $\omega_1, \omega_2$ を数値的に求めてみよ。参考 → ▼ 「はさみうち」法による、方程式の求解

２つの角振動数の差 $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1$ を、角振動数の半値全幅 (FWHM; full width of half maximum) という。

定数 $Q$ は、半値全幅 $\Delta{\omega}$ と共振角振動数 $\omega_0$ の比に、ほぼ等しい。

\[Q \simeq \dfrac{\omega_0}{\Delta\omega} = \dfrac{f_0}{\Delta{f}}\]

これを、数値的に確かめてみよ。

ヒント：半値全幅を与える角振動数 $\omega_1, \omega_2$ では、以下が成り立つ。複号 $\pm$ が、$\omega_1, \omega_2$ のどちらかに対応するかを考えよ。

\[H(\omega_{1,2} ) = \dfrac{1}{1 \pm i}\]

◀ 低域通過フィルタ

自己インダクタンス L と電気抵抗 R を直列に接続したLR直列回路の電源に正弦波電圧 $e(t)$ を加える。抵抗 $R$ の両端子間の電圧 $v(t)$ は、同じ角振動数を持つ正弦波 $v(t)$ となる。正弦波 $e(t)$ と $v(t)$ を複素数 $E(\omega)$ と $V(\omega)$ で表したとき、両者の比は、以下の複素数 $H(\omega)$ で表される。

\[H(\omega) = \dfrac{V(\omega)}{E(\omega)} = \dfrac{1}{1+i\dfrac{\omega}{\omega_0}}\]

ここで、$\omega_0 = 2\pi{f_0}$ は、回路素子 $L, R$の値から決まる正の定数である。$f_0$ は周波数の次元、$\omega_0$ は角振動数の次元を持つ。

まず、$f_0= 1\;\mathrm{kHz}$ として、$H(\omega)$ の振幅 $\left\vert{H(\omega)}\right\vert$ を、描く。横軸の周波数は対数で表示する。

f0=1e3
w0=2pi*f0

fs=exp10.(range(1,5,length=100))

ws=2pi*fs
h1=1 ./ (1 .+ im * ws/w0)

using PyPlot
plt.plot(fs, abs.(h1))
plt.xscale("log")
plt.xlabel("f / Hz")
plt.ylabel("Amplitude")

plt.axhline(1, lw=0.5, color="k")
plt.axhline(1/sqrt(2), lw=0.5, color="k")
plt.axvline(f0, lw=0.5, color="k")

振幅は、周波数が低いとき $1$ にほぼ等しく、周波数の増加に伴い、単調減少する。周波数が低い正弦波をそのまま通し、周波数の高い正弦波を減衰させるので、低域通過フィルタ (Low Pass Filter; LPF) と呼ばれる。

周波数 $f_0$ における振幅は $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である。周波数 $f_0$ は、振幅が減衰する周波数の目安であり、遮断(しゃだん)周波数 (cut-off frequecy) と呼ばれる。

振幅 $A$ の常用対数 (底が $10$ の対数)をとり、20 倍したものを利得 (gain) という。利得の「単位」をデシベル (dB) という。

\[G = 20 \log_{10} A\]

上のグラフを、縦軸を利得に変換して描く。

f0=1e3
w0=2pi*f0

fs=exp10.(range(1,5,length=100))

ws=2pi*fs
h1=1 ./ (1 .+ im * ws/w0)

using PyPlot
plt.plot(fs, 20*log10.(abs.(h1)))
plt.xscale("log")
plt.xlabel("f / Hz")
plt.ylabel("gain / dB")

plt.axhline(0, lw=0.5, color="k")
plt.axhline(-3, lw=0.5, color="k")
plt.axvline(f0, lw=0.5, color="k")

振幅 $1$ は利得 $0\;\mathrm{dB}$ である。減衰動作の周波数領域では、周波数が $10$ 倍になると利得は $-20\;\mathrm{dB}$ 減少する。この傾きを $-20\;\mathrm{dB}/\mathrm{decade}$ と称する (decade は $10$ 倍の意味)。

更に、位相を加えて描く。

f0=1e3
w0=2pi*f0

fs=exp10.(range(1,5,length=100))

ws=2pi*fs
h1=1 ./ (1 .+ im * ws/w0)

using PyPlot
fig,axs=plt.subplots(2,1)
#
ax1=axs[1]
ax1.plot(fs, 20*log10.(abs.(h1)))
ax1.set_xscale("log")
ax1.set_xlabel("f / Hz")
ax1.set_ylabel("gain / dB")

ax1.axvline(f0, lw=0.5, color="k")
ax1.axhline( 0, lw=0.5, color="k")
ax1.axhline(-3, lw=0.5, color="k")
#
ax2=axs[2]
ax2.plot(fs, rad2deg.(angle.(h1)))
ax2.set_ylim(-100,10)
ax2.set_yticks([-90,-75,-60,-45,-30,-15,0]) # y軸の刻みを指定する
ax2.set_xscale("log")
ax2.set_xlabel("f / Hz")
ax2.set_ylabel("phase / degree")
ax2.axvline(f0, lw=0.5, color="k")
ax2.axhline(-45, lw=0.5, color="k")
ax2.axhline(0, lw=0.5, color="k")
ax2.axhline(-90, lw=0.5, color="k")

位相は周波数の増加に伴い単調減少する。低い周波数では $0^{\circ}$ に、高い周波数では $-90^{\circ}$ にそれぞれ漸近する。

遮断周波数 $f_0$ では伝達関数は $H(\omega_0) = \dfrac{1}{1+i}$ である。したがって、遮断周波数 $f_0$ での利得は $-3\;\mathrm{dB}$、位相は $-45^{\circ}$ である (註: $\log_{10} 2 \simeq 0.3$ を覚えておくとよい)。

◀ 練習：低域通過フィルタ

以下の伝達関数に対して、周波数応答を描け。

\[H(\omega) = \dfrac{-A}{1+i\dfrac{\omega}{\omega_0}}\]

まず、$A = 1$ を保ったまま $f_0 = 100, 1000, 10000\;\mathrm{Hz}$ と増やしてみよ。

次に、$A = 1, 10, 100$ と増やしてみよ。

それぞれ、どのように変化するか、言葉で記述してみよ。

■ 複素数に拡張された関数

平方根や指数関数以外でも、実数を引数とする関数の多くが、複素数を引数とするように拡張されている。

▶ 対数関数（複素数）

複素数 $z = r\exp(i\theta)$ と極座標表示したとき、その自然対数は、以下のように計算できる。すなわち、実数部は絶対値の自然対数、虚数部は偏角である。

\[\log{z} = \log r\exp(i\theta) = \log{r} + i \theta\]

複素数 $z = 1 + i y$ の自然対数 $\log{z}$ の実数部と虚数部を描く。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
ys=range(-2pi,2pi,length=101)
zs=complex.(1,ys)
cs=log.(zs)
plt.plot(ys, real.(cs), label="real log (1+i*y)" )
plt.plot(ys, imag.(cs), label="imag log (1+i*y)" )
plt.legend()

plt.xlabel("y")
plt.legend(loc=4)
plt.ylim(-3,3)
plt.xlim(-3,3)

plt.axhline(0,lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0,lw=0.5, color="k")
plt.axhline( pi/2, lw=0.5, color="c")
plt.axhline(-pi/2, lw=0.5, color="c")
#
plt.axhline(log(sqrt(2)), lw=0.5, color="m")
plt.axhline( pi/4, 0.6, 1, lw=0.5, color="m")
plt.axhline(-pi/4, 0, 0.4, lw=0.5, color="m")
plt.axvline( 1, lw=0.5, color="m")
plt.axvline(-1, lw=0.5, color="m")

変数 $y$ の増加に伴い、$\log{z}$ の虚数部は $-\dfrac{\pi}{2}$ から $\dfrac{\pi}{2}$ へ単調に増加する (シアン色の補助線)。実数部は下に凸で、$y=0$ で極小値 $\log{1} = 0$ をとる。

特に、$y = \pm{1}$ において、虚数部は $\pm\dfrac{\pi}{4}$、実数部は $\log\sqrt{2}$ をとる (マゼンダ色の補助線)。

上のグラフは、ガウス平面上の $z = 1 + i y$ の軌跡から理解できるであろう。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
plt.xlim(-3,3)
plt.ylim(-3,3)
plt.xlabel("real part")
plt.ylabel("imag part")
plt.axhline(0, lw=0.5, c="k")
plt.axvline(0, lw=0.5, c="k")
plt.axvline(1, lw=0.5, c="k")
for y in [-2, -1, 1,2]
  plt.plot([0,1], [0,y], "b.-")
  text(1.1, y, "1+i "*string(y))
end

◀ 練習：対数関数（複素数）

複素数 $z = x + i$ の自然対数 $\log{z}$ の実数部と虚数部を描け。その結果を、ガウス平面上の $z$ の軌跡を描いて、考察せよ。

▶ 三角関数と双曲線関数

双曲線関数 $\cosh{t}, \sinh{t}$ や三角関数 $\cos{t}, \sin{t}$ は、指数関数 $\exp(z)$ を用いて、定義されることもある。

\begin{align*} \cosh x &= \dfrac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}, \\ \sinh x &= \dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}, \\ \cos x &= \dfrac{\exp(ix)+\exp(-ix)}{2}, \\ \sin x &= \dfrac{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i} \end{align*}

したがって、三角関数に純虚数を与えると、双曲線関数となる。

\begin{align*} \cos ix & = \cosh x, \\ \sin ix & = i \sinh x \end{align*}

上の等式がなりたつことを、グラフで観察しよう。

using PyPlot
plt.axes().set_aspect("equal")
xs=range(-1,1,length=21)
cz=cos.( im*xs )
plt.plot(xs, real.(cz), "r-", label="real cos(ix)")
plt.plot(xs, cosh.(xs), "ro", label="cosh(x)")
#
sz=sin.( im*xs )
plt.plot(xs, imag.(sz), "b-", label="imag sin(ix)")
plt.plot(xs, sinh.(xs), "bo", label="sinh(x)")
#
plt.xlabel("x")
plt.xlim(-1.8,1.8)
plt.ylim(-1.8,1.8)
plt.legend()
plt.axhline(0,lw=0.5, color="k")
plt.axvline(0,lw=0.5, color="k")

★ 今回のまとめ

複素数
複素数のベクトル・行列
複素数の加減乗除
ガウス平面
オイラーの公式
極座標表示
複素数に拡張された関数
応用：伝達関数