第14回：定期レポートへのコメント（その1）

第14回：定期レポートへのコメント（その1）

極座標 $(r, \theta)$ で記述される曲線を描き、その類似点を考察せよ、という課題であった。

ただし、動径 $r$ は、以下の式で与えられるものとする。

\[\begin{align*} r_{1} & = \sin \theta + \cos \theta, \\ r_{2} & = 2 + 2\sin \theta = 2 \left(1 + \sin\theta \right), \\ r_{3} & = \dfrac{3}{2} + \sin \theta, \\ r_{4} & = 1 + \cos \theta, \\ r_{5} & = \dfrac{1}{2} + \cos \theta, \\ r_{6} & = \cos \dfrac{\theta}{2} \quad \left( 0 \le \theta \le 4\pi \right), \\ r_{7} & = \sin \dfrac{\theta}{2} \quad \left( 0 \le \theta \le 6\pi \right), \\ r_{8} & = \sin^2\theta = \left(\sin \theta\right)^2, \\ r_{9} & = 1 + 3 \cos^2 (2\theta) = 1 + 3 \left(\cos 2\theta \right)^{2}, \\ r_{10} & = \sin^2 (3\theta) = \left( \sin 3\theta \right)^{2}, \\ r_{11} & = \tan \theta, \\ r_{12} & = \cot 2\theta, \\ r_{13} & = \dfrac{1}{1+\cos \theta}, \\ r_{14} & = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}\cos \theta}, \\ r_{15} & = \dfrac{1}{1+2\cos \theta}, \\ r_{15} & = \dfrac{1}{1-\cos \theta}, \\ r_{16} & = \dfrac{1}{1+\sin \theta}, \end{align*}\]

分類

引数 $\theta$ に対する周期性から、以下のように分類できるであろう。

曲線 $r_{1}$

以下、何も工夫せずに、曲線を描いてみる。 ただし、描画範囲は適宜調整した。

曲線 $r_{1}$ を曲線 $r_{0} = \sin \theta$ と一緒に描く。

using PyPlot
ts=0:pi/72:2pi
#
r0 = sin.(ts)
x0 = r0 .* cos.(ts)
y0 = r0 .* sin.(ts)
plot(x0,y0, label="r0")
#
r1 = sin.(ts) + cos.(ts)
x1 = r1 .* cos.(ts)
y1 = r1 .* sin.(ts)
plot(x1,y1, label="r1")
#
legend()
xlim(-1,2)
ylim(-1,2)
axhline(0, c="k", lw=0.5)
axvline(0, c="k", lw=0.5)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

三角関数の合成の公式を用いると、$r_{1}$ は、以下のように変形できる。

\[\begin{align*} r_{1} = & \sin \theta + \cos \theta = & \sqrt{2} \left\{ \sin \theta \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \cos \theta \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right\} \\ = & \sqrt{2} \sin \left( \theta + \dfrac{\pi}{4} \right) \end{align*}\]

すなわち、曲線 $r_{0}$ を、時計方向に $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転し、 原点を中心に $\sqrt{2}$ だけ拡大したものが、曲線 $r_{1}$ である。

曲線 $r_{2},r_{3}$

曲線 $r_{2},r_{3}$ は、y軸に対して対称である。

using PyPlot
ts=0:pi/72:2pi
#
r2 = 2 * (1+sin.(ts))
x2 = r2 .* cos.(ts)
y2 = r2 .* sin.(ts)
plot(x2,y2, label="r2")
#
r3 = 3/2 + sin.(ts)
x3 = r3 .* cos.(ts)
y3 = r3 .* sin.(ts)
plot(x3,y3, label="r3")
#
legend()
xlim(-3,3)
ylim(-2,5)
axhline(0, c="k", lw=0.5)
axvline(0, c="k", lw=0.5)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

曲線 $r_{4},r_{5}$

曲線 $r_{2}$ を時計方向に$\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転したものが、曲線 $r_{4}$ である。

曲線 $r_{4},r_{5}$ は、x軸に対して対称である。

using PyPlot
ts=0:pi/72:2pi
#
r4 = 1 + cos.(ts)
x4 = r4 .* cos.(ts)
y4 = r4 .* sin.(ts)
plot(x4,y4, label="r4")
#
r5 = 1/2 + cos.(ts)
x5 = r5 .* cos.(ts)
y5 = r5 .* sin.(ts)
plot(x5,y5, label="r5")
#
legend()
xlim(-1,3)
ylim(-2,2)
axhline(0, c="k", lw=0.5)
axvline(0, c="k", lw=0.5)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

曲線 $r_{6},r_{7}$

using PyPlot
#
ts4=0:pi/18:4pi
r6 = cos.(ts4./2)
x6 = r6 .* cos.(ts4)
y6 = r6 .* sin.(ts4)
plot(x6,y6, label="r6")
#
ts6=0:pi/18:6pi
r7 = sin.(ts6./2)
x7 = r7 .* cos.(ts6)
y7 = r7 .* sin.(ts6)
plot(x7,y7, ".", label="r7")
#
legend()
xlim(-3/2,3/2)
ylim(-3/2,3/2)
axhline(0, c="k", lw=0.5)
axvline(0, c="k", lw=0.5)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

曲線 $r_{6}$ と $r_{7}$ は一致した。

ちなみに、$\theta$ の定義域を狭めて描いてみよう。

using PyPlot
#
ts4=0:pi/18:pi        # <--
r6 = cos.(ts4./2)
x6 = r6 .* cos.(ts4)
y6 = r6 .* sin.(ts4)
plot(x6,y6, label="r6")
#
ts6=0:pi/18:pi        # <--
r7 = sin.(ts6./2)
x7 = r7 .* cos.(ts6)
y7 = r7 .* sin.(ts6)
plot(x7,y7, ".", label="r7")
#
legend()
xlim(-3/2,3/2)
ylim(-3/2,3/2)
axhline(0, c="k", lw=0.5)
axvline(0, c="k", lw=0.5)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

これをよく観察すると、 曲線 $r_{6}$ 上の点と、曲線 $r_{7}$ 上の点の対応関係が見えてくるであろう。

曲線 $r_{8},r_{9}$

曲線 $r_{8},r_{9}$ の動径は、正である。

using PyPlot
#
ts=0:pi/72:2pi
#
r8 = (sin.(ts)).^2
x8 = r8 .* cos.(ts)
y8 = r8 .* sin.(ts)
plot(x8,y8, label="r8")
#
r9 = 1 + 3* (cos.(2*ts)).^2
x9 = r9 .* cos.(ts)
y9 = r9 .* sin.(ts)
plot(x9,y9, label="r9")
legend()
xlim(-5,5)
ylim(-5,5)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

ちなみに、$t$ の定義域を狭めて描いてみよう。

using PyPlot
#
ts=0:pi/72:2pi *3/8 # <--
#
r8 = (sin.(ts)).^2
x8 = r8 .* cos.(ts)
y8 = r8 .* sin.(ts)
plot(x8,y8, label="r8")
#
r9 = 1 + 3* (cos.(2*ts)).^2
x9 = r9 .* cos.(ts)
y9 = r9 .* sin.(ts)
plot(x9,y9, label="r9")
legend()
xlim(-5,5)
ylim(-5,5)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

曲線 $r_{10}$

花曲線 $r_{10b} = \sin (3\theta)$ とともに描いてみよう。

using PyPlot
ts=0:pi/72:2pi
#
r10 = (sin.(3ts)).^2
x10 = r10 .* cos.(ts)
y10 = r10 .* sin.(ts)
plot(x10,y10, label="r10")
#
r10b = sin.(3ts)
x10b = r10b .* cos.(ts)
y10b = r10b .* sin.(ts)
plot(x10b,y10b, label="r10b")
#
legend()
xlim(-5/4,5/4)
ylim(-5/4,5/4)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

曲線 $r_{11}$, $r_{12}$

正接 $\tan \theta$ は $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍で、正負の無限大に発散する。 余接 $\cot \theta$ は $\dfrac{\pi}{2}$ の偶数倍で、正負の無限大に発散する。

これら発散する $\theta$ においては、曲線は x軸や y軸に平行な直線に漸近することになる。

曲線 $r_{11}$ は、$x = \pm {1}$ に漸近する。

曲線 $r_{12}$ は、$x = \pm\dfrac{1}{2}$ または $y = \pm\dfrac{1}{2}$ に漸近する。

using PyPlot
ts=0:pi/72:2pi
#
r11 = tan.(ts)
x11 = r11 .* cos.(ts)
y11 = r11 .* sin.(ts)
plot(x11,y11, ".", label="r11")
#
r12 = cot.(2ts)
x12 = r12 .* cos.(ts)
y12 = r12 .* sin.(ts)
plot(x12,y12, ".", label="r12")
#
legend()
xlim(-4,4)
ylim(-4,4)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

曲線 $r_{13}$, $r_{14}$, $r_{15}$

using PyPlot
ts=0:pi/144:2pi
#
a=1
r13 = 1 ./ (1+a*cos.(ts))
x13 = r13 .* cos.(ts)
y13 = r13 .* sin.(ts)
plot(x13,y13, ".", label="r13, a="*string(a))
#
a=1/2
r14 = 1 ./ (1+a*cos.(ts))
x14 = r14 .* cos.(ts)
y14 = r14 .* sin.(ts)
plot(x14,y14, ".", label="r14. a="*string(a))
#
a=2
r15 = 1 ./ (1+a*cos.(ts))
x15 = r15 .* cos.(ts)
y15 = r15 .* sin.(ts)
plot(x15,y15, ".", label="r15, a="*string(a))
#
legend()
xlim(-4,4)
ylim(-4,4)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")

(再掲) これらの曲線は、以下の形である。 $r = \dfrac{1}{1+a \cos \theta}$

パラメータ $a$ の範囲により、見かけが異なる

曲線 $r_{13}$, $r_{16}$

曲線 $r_{13}$ と $r_{16}$ は、$\sin$ と $\cos$ を入れ替えたものである。

using PyPlot
ts=0:pi/144:2pi
#
r13 = 1 ./ (1+cos.(ts))
x13 = r13 .* cos.(ts)
y13 = r13 .* sin.(ts)
plot(x13,y13, ".", label="r13")
#
a=1/2
r16 = 1 ./ (1+sin.(ts))
x16 = r16 .* cos.(ts)
y16 = r16 .* sin.(ts)
plot(x16,y16, ".", label="r16")
#
legend()
axhline(0, color="k", lw=0.5)
axvline(0, color="k", lw=0.5)
xlim(-4,4)
ylim(-4,4)
plt[:axes]()[:set_aspect]("equal")